对数

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各种底数的对数: 红色函数底数是e, 绿色函数底数是10，而紫色函数底数是1.7。在数轴上每个刻度是一个单位。所有底数的对数函数都通过点(1, 0)，因为任何数的 0 次幂都是 1，而底数 b 的函数通过点(b, 1)，因为任何数的 1 次幂都是自身 1。曲线接近 y 轴但永不触及它，因为 x = 0 的奇异性。

在数学中，数 x 的(对于底数 b)对数是 b^y 的幂 y，使得 x = b^y。底数 b 的值一定不能是 0 也不能是 1 (在扩展到复数的复对数情况下不能是 1 的方根)，典型的是 10、e 或 2。底数 b 的对数通常写为

$\log_b(x) = y. \,$

当 x 和 b 进一步限制为正实数的时候，对数是一个唯一的实数。

例如，因为

$3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81, \,$

我们可以得出

$\log_3(81) = 4, \,$

用日常语言说，81 的底数 3 的对数是 4。

[编辑] 对数函数

函数 log_b(x) 依赖于 b 和 x 二者，但是术语对数函数在标准用法中用来称呼形如 log_b(x) 的函数，在其中底数 b 是固定的而只有一个参数 x。所以对每个底数 b 的值(必须是正数必须不是 1)只有一个对数函数。从这个角度看，底数 b 的对数函数是指数函数 b^x 的反函数。词语“对数”经常用来称呼对数函数自身和这个函数的一个特定值。

对数函数图像和指数函数图像关于直线y=x对称（互为反函数）。

对数函数的性质有：

都过(1，0)点；
定义域为R+，值域为R；
b＞1，在(0，+∞)上是增函数；0＜b＜1时，在(0，+∞)上是减函数。

[编辑] 整数和非整数幂

如果 n 是正整数， bⁿ 表示等于 b 的 n 个因子的乘积:

$\underbrace{b \times b \times \cdots \times b}_n.$

但是，如果 b 是不等于 1 的正实数，这个定义可以扩展到在一个域中的任何实数 n(参见幂)。类似的，对数函数可以定义于任何正实数。对于不等于 1 的每个正底数 b，有一个对数函数和一个指数函数，它们互为反函数。

对数可以简化乘法运算为加法，除法为减法，幂运算为乘法，根运算为除法。所以，在发明电子计算机之前，对数对进行冗长的数值运算是很有用的，它们广泛的用于天文、工程、航海和测绘等领域中。它们有重要的数学性质而在今天仍在广泛使用中。

[编辑] 底数

最常用做底数的是 10、数学常数 e ≈ 2.71828... 和 2。当写出不带底数的“log”的时候，意图要从上下文中确定:

自然对数 (log_e, ln, log 或 Ln) 在数学分析中。
常用对数 (log₁₀ 或简写为 log; 有时为 lg) 在工程中和在使用对数表简化计算的时候。
二进制对数 (log₂; 有时写为 lg 或 lb) 在信息论和音程中。
不确定对数在底数无关紧要的时候，比如计算复杂性理论用大O符号描述算法的渐进行为的时候。

为了避免混淆，在可能有歧义的时候最好指定底数。

[编辑] 换底数

尽管有很多有用的恒等式，对计算器最重要的是找到不是建造于计算器内的底数(通常是 log_e 和 log₁₀)的其他底数的对数。要使用其他底数 k 找到底数 b 的对数:

$\log_b(x) = \frac{\log_k(x)}{\log_k(b)}.$

此外，这个结果蕴涵了所有对数函数(不管什么底数)都是相互类似的。所以用计算器计算 16 的底数 2 的对数:

$\log_2(16) = \frac{\log(16)}{\log(2)}.$

[编辑] 对数的用途

对数对解幂是未知的方程是有用的。它们有简单的导数，所以它们经常用在解积分中。对数是三个相关的函数中的一个。在等式 bⁿ = x 中，b 可以从 x 的 n 次方根， n 从 x　的 b 底数的对数，x 从 b 的 n 次的幂来确定。参见对数恒等式得到掌控对数函数的一些规则。

[编辑] 简便计算

对数把注意力从平常的数转移到了幂。只要使用相同的底数，就会使特定运算更容易:

数的运算	幂的运算	对数恒等式
$\!\, a b$	$\!\, A + B$	$\!\, \log(a b) = \log(a) + \log(b)$
$\!\, a / b$	$\!\, A - B$	$\!\, \log(a / b) = \log(a) - \log(b)$
$\!\, a ^ b$	$\!\, Ab$	$\!\, \log(a ^ b) = b \log(a)$
$\!\, \sqrt[b]{a}$	$\!\, A / b$	$\!\, \log(\sqrt[b]{a}) = \frac{\log(a)}{b}$

这些关系使在两个数上的这种运算更快，在乘法计算器出现之前正确的使用对数是基本技能。

$log(a b) = log(a) + log(b)$ 等式是基本的(它有效的蕴涵了其他在域中的三个关系)，因为它描述了在这个域的加法群和乘法群之间的同构。

[编辑] 微积分

自然对数函数的导数是

$\frac{d}{dx} \ln(x) = \frac{1}{x}.$

通过应用换底规则，其他底数的导数是

$\frac{d}{dx} \log_b(x) = \frac{d}{dx} \frac {\ln(x)}{\ln(b)} = \frac{1}{x \ln(b)} = \frac{\log_b(e)}{x}.$

自然对数 ln(x) 的不定积分是

$\int \ln(x) \,dx = x \ln(x) - x + C,$

而其他底数对数的不定积分是

$\int \log_b(x) \,dx = x \log_b(x) - \frac{x}{\ln(b)} + C = x \log_b \left(\frac{x}{e}\right) + C.$

[编辑] 计算自然对数的级数

有一些级数用来计算自然对数。^[1] 最简单和低效的是:

$\ln (z) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)}^n}{n} (z-1)^n$ 当 $|z-1|<1 \!.$

要得出它，开始于

$\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots.$

在两边积分得到

$-\ln(1-x) = x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \cdots$

$\ln(1-x) = -x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} - \cdots.$

设 $z = 1-x \!$ 并因此 $x = -(z-1) \!$ ，得到

$\ln z = (z-1) - \frac{(z-1)^2}{2} + \frac{(z-1)^3}{3} - \frac{(z-1)^4}{4} + \cdots$

更有效率的级数是

$\ln (z) = 2 \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2n+1} {\left ( \frac{z-1}{z+1} \right ) }^{2n+1}$

对带有正实部的 z。

推导：代换 -x 为 x，得到

$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots.$

做减法，得到

$\ln \frac{1+x}{1-x} = \ln(1+x) - \ln(1-x) = 2x + 2\frac{x^3}{3} + 2\frac{x^5}{5} + \cdots.$

设 $z = \frac{1+x}{1-x} \!$ 并因此 $x = \frac{z-1}{z+1} \!$ ，得到

$\ln z = 2 \left ( \frac{z-1}{z+1} + \frac{1}{3}{\left(\frac{z-1}{z+1}\right)}^3 + \frac{1}{5}{\left(\frac{z-1}{z+1}\right)}^5 + \cdots \right ).$

例如，应用这个级数于

$z = \frac{11}{9},$

得到

$\frac{z-1}{z+1} = \frac{\frac{11}{9} - 1}{\frac{11}{9} + 1} = \frac{1}{10},$

并因此

$\ln (1.2222222\dots) = \frac{2}{10} \left (1 + \frac{1}{3\cdot 100} + \frac{1}{5 \cdot 10000} + \frac{1}{7 \cdot 1000000} + \cdots \right )$

$= 0.2 \cdot (1.0000000\dots + 0.0033333\dots + 0.0000200\dots + 0.0000001\dots + \cdots)$

$= 0.2 \cdot 1.0033535\dots = 0.2006707\dots$

在这里我们在第一行的总和中提出了因数 1/10。

对于任何其他底数 b, 我们使用

$\log_b (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (b)}.$

[编辑] 计算机

多数计算机语言把 log(x) 用做自然对数，而常用对数典型的指示为 log10(x)。参数和返回值典型的是浮点数据类型。

因为参数是浮点数，可以有用的做如下考虑:

浮点数值 x 被表示为尾数 m 和指数 n 所形成的

$x = m2^n.\,$

因此

$\ln(x) = \ln(m) + n\ln(2).\,$

所以，替代计算 $ln(x)$ ，我们计算对某个 m 的 $ln(m)$ 使得 1 ≤ m ≤ 2。有在这个范围内的 m 意味着值 $u = \frac{m - 1}{m+1}$ 总是在范围 $0 \le u < \frac13$ 内。某些机器使用在范围 $0.5 \le m < 1$ 内的尾数，并且在这个情况下 u 的值将在范围 $-\frac13 < u \le 0$ 内。在任何一种情况下，这个级数都是更容易计算的。

[编辑] 一般化

普通的正实数的对数一般化为负数和复数参数，尽管它是多值函数，需要终止在分支点 0 上的分支切割，来制作一个普通函数或主分支。复数 z 的(底数 e)的对数是复数 ln(|z|) + i arg(z)，这里的 |z| 是 z 的模，arg(z) 是辐角，而 i 是虚单位；详情参见复对数。

离散对数是在有限群理论中的相关概念。它涉及到解方程 bⁿ = x，这里的 b 和 x 是这个群的元素，而 n 是指定在群运算上的幂。对于某些有限群，据信离散对数是非常难计算的，而离散指数非常容易。这种不对称性可用于公开密钥加密。

矩阵对数是矩阵指数的反函数。

对于不等于 1 的每个正数 b，函数 log_b (x) 是从在乘法下的正实数的群到在加法下(所有)实数的群的同构。它们是唯一的连续的这种同构。对数函数可以扩展为在乘法下正实数的拓扑空间的哈尔测度。

[编辑] 历史

对数方法是苏格兰的 Merchiston 男爵约翰·纳皮尔 1614年在书《Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio》中首次公开提出的，^[2](Joost Bürgi 独立的发现了对数；但直到 Napier 之后四年才发表)。这个方法对科学进步有所贡献，特别是对天文学，使某些繁难的计算成为可能。在计算器和计算机发明之前，它持久的用于测量、航海、和其他实用数学分支中。

[编辑] 对数表

主条目：对数表

20 世纪的常用对数表的一个实例。

在发明计算机和计算器之前，使用对数意味着使用对数表，它必须手工建立。

[编辑] 参见

[编辑] 引用

↑ Handbook of Mathematical Functions, National Bureau of Standards (Applied Mathematics Series no.55), June 1964, page 68.
↑ Much of the history of logarithms is derived from The Elements of Logarithms with an Explanation of the Three and Four Place Tables of Logarithmic and Trigonometric Functions, by James Mills Peirce, University Professor of Mathematics in Harvard University, 1873.

[编辑] 外部链接

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